… dio teksta napisanog 1996 o nekim temama iz matematike …  Cjelokupan tekst može se pogledati ovdje.

 

Pojam funkcije

Čim čujemo riječ funkcije odmah pomislimo na razna mjesta koja nas čekaju kad završimo fakultet. Bit ćemo neki inženjeri bili diplomirani ili ne, ali funkcije nas čekaju, odnosno neko radno mjesto na kome ćemo obavljati neke poslove, gdje ćemo za uzvrat dobijati platu. Bilo kako bilo funkcija nam je neophodna da bi egzistirali, da bi smo postojali. Samim dobijanjem funkcije postajemo funkcioneri. Čitav ovozemaljski svijet sastoji se iz bezbroj funkcija, nekih procesa razmjenjivanja, uzimanja, oslobađanja, davanja itd. U stvari funkcija je neki proces pri kojem se nešto odvija-događa i pri kome postoji jedan ili više određenih pravila događanja, pa bili oni čak i slučajni (tada govorimoo slučajnim procesima). Sve te životne funkcije dosta su slične pojmu funkcije koju definiše matematika. U stvari nema ni jedne čak i najjednostavnije teoreme u matematici, a da se ne može primjeniti u stvarnom životu. Kada posmatramo neki proces zapazićemo da se neke od veličina koje učestvuju u tom procesu mjenjaju – uzimaju različite vrijednosti, dok druge imaju konstantnu vrijednost. Primjera za to ima bezbroj.

Kada stojimo pored štanda voća. Primjetićemo da svaka kila jabuke dobija jednu te istu sumu novaca od 2 DM (demokratske marke što bi rekao jedam moj prijatelj). Odnosno svaka kila krušaka 3 DM ili grožđa 5 DM. Kada se poveća masa jabuka i ostalog voća poveća se i njihova cijena. U ovom slučaju imamo proporcionalno povećanje cijene voća sa njegovom masom. Nadalje posmatrajmo jednu totalno glupu situaciju u kojoj želimo da naduvamo staklenu flašu. Duvanjem u flašu dovodimo zrak u flašu, ali volumen flaše ostaje isti, samo smo promjenili temparaturu vazduha i pritisak u staklenoj flaši. Ovo je jedan primjer kada se dvije veličine mjenjaju dok je treća konstantna. Primjera ima bezbroj no mi ćemo zaključak dati iz ova dva suštinska primjera. Vidimo da postoje veličine koje se mjenjaju, i koje ostaju konstantne pa ćemo definisati sljedeće:

Definicija 1.

Veličina koja pod datim uslovima može poprimiti različite brojne vrijednosti zovemo promjenjivom veličinom. Veličina koja se u datim uslovima ne mjenja već uvijek „stoji“ na istoj brojnoj vrijednosti zovemo stalnom ili konstantnom veličinom.

Skup svih brojnih vrijednosti date promjenjive veličine zovemo oblast promjene te promjenjive. Konstante koje nikako ne mjenjaju svoju vrijednost zovemo apsolutne konstante. Nrp - Ludolfov broj, gravitaciona konstanta itd.

Međutim, u cilju općih formulacija i mogućnosti dobijanja zaključaka, dobro je i te kontantne veličine posmatrati kao specijalne slučajeve promjenjivih veličina. To je pogotovo korisno kod dokazivanja raznih teorema koje su povezane sa konstantnim veličinama.

Definišimo dva skupa i , tako da je element skupa , a element skupa , drugim riječima i . Preslikavanje skupa na definisano je zakonom korespodencije gdje svakom odgovara jedan element . Element koji pripada zvaćemo argument ili nezavisno promjenjiva. Element koji pripada zvaćemo zavisno promjenjiva ili funkcija.

Definicija 2.

Funcija jedne nezavisno promjenjive (jednog argumenta) zovemo preslikavanje skupa (vrijednosti argumenata) na skup vrijednosti promjenjive po jednom određenom fiksnom zakonu korespodencije (dodjeljivanja).

Pravilo pridruživanja označavaćemo sa tako da se funkcija može simbolički napisati:

ili (čitaj y je jednako ef od x)

ili (čitaj y je jednako fi od x)

Definicija 2.2 je smisao simbolike . Znači svakom elementu , odgovara jedan element . Definicija 2.2 također nam daje smjernice za definisanje funkcije. Pa tako da bi funkciju definisali potrebno je definisati:

1. Skup vrijednosti elementata .
2. Zakon dodjeljivanja ili korespodencije
3. Skup vrijednosti funkcije .

Skup vrijednosti koji može primiti argument zovemo još i oblast definisanosti ili domena funkcije . Skup zovemo skupom vrijednosti ili kodomena funkcije. Ako je na primjer tj pripada domeni funkcije , tada pripada kodomeni funkcije odnosno . Još se kaže da predstavlja sliku elementa u skupu . Ako postoji tada nema smisla.

Također se može desiti sa i imamo istu vrijednost funcije odnosno vrijedi da je:

Ovo znači da dvije različite vrijednosti argumenata iz domene preslikavaju se i jednu te istu tačku kodomene. Ovaj slučaj možemo pokazati na jednom jednostavnom primjeru.

Primjer 1.

Ako imamo funkciju , tada za i imamo istu vrijednost funkcije .

Matematički izraziti funkciju znači naći određenu uzajamnu korespodenciju između dva skupa. Načini na koji se funkcija zadaje ili izražava više je praktično pitanje nego suštinsko. Funkciju možemo zadati grafički, tablično i analitički.

Grafički način predstavljanja funkcije sastoji se iz geometrijske prezentacije jedne funkcije u koordinatnom sistemu, gdje svaki uređeni par brojeva , gdje je – argument, a - zavisno promjenjiva funkcija, zamišljamo kao par koordinata tačke u koordinatnom sistemu u ravni . Skup svih takvih tačaka u ravni čije su apcise vrijednosti argumenata , a ordinate odgovarajuće vrijednosti funkcije zovemo grafik funkcije.

Grafik na vidan način prikazuje ponašanje funkcije tj. njenu monotonost, maksimalnu i minimalnu vrijednost, vrijednosti argument, nul tačke funkcije, odnosno sve osobine koje su sastavni dio funkcije. Zato se u drugim naukama Fizici, Biologiji, Psihologiji i dr. izrađuju slični grafici i dijagrami gdje se prati tok nekog procesa (pokusa) i grafički prikazuju osobine tog procesa. Jedan od primjera je dijagram momenta savijanja proste grede. Iz dijagrama možemo primjetiti kako se mjenja moment savijanja duž grede od početne tačke do krajnje tačke .

Slika 2.1 Dijagram momenta savijanja grede

Sa slike vidimo da je najveći ili maksimalni momenat u tački koja se nalazi na sredini, odnosno na mjestu gdje djeluje skoncentrisano opterećenje . Na slici također uočavamo da je izrađen dijagam u funkciji dužine grede odnosno matematički rečeno .

Tabelarni način zadavanja funkcije imamo u slučaju kada izvjesnim vrijednostima argumenata pridružujemo zavisno promjenjive , a da pri tom neznamo ili nas ne zanima način pridruživanja . Tablični način predstavljanja često koristimo u prirodnim i tehničkim naukama, u eksperimentalnim istraživanjim i sl. Na osnovu eksperimenta dolazimo do uređenih parova . Ovi parovi se tabelarno prikazuju na sljedeći način:

Tabela 2.1 Tabearni prikaz funkcije

Analitički način zadavanje funkcije sastoji se u tome da zakon preslikavanja damo matematičkim izrazom ili formulom. Domenu funkcije zadane u analitičkom obliku određujemo iz samog izraza, odnosno pronalazimo skup svih mogućih rješenja za koje je izraz ima slisla.

Primjer 2.

Funkcija ima domenu svih realnih brojeva simbolički zapisano , jer je izraz (formula) definisan za sve realne brojeve.

Primjer 3.

Funkcija ima domenu svih poziotivnih realnih brojeva manjih ili jednako od 5 simbolički zapisano .

Primjer 4.

Funkcija ima domenu koja se izračunava na sljedeći način: i i Na osnovu gornjih izraza domena je definisana za:

Ako dvije ili više funkcija imaju istu domenu tada se mogu posmatrati zbir, razlika proizvod i količnik funkcija, odnosno mogu se posmatrati određene algebarske operacije među funkcijama. Imamo:

Jednakost dviju funkcija

Zadane su funkcije , koje se definisane na skupovima , i . Za dvije funkcije kažemo da su jednake ako je:

1. – definišu istu domenu,
2. – imaju istu kodomenu,
3. – imaju iste funkcije.

Parne i neparne funkcije

Definicija 3.

Funkcija je parna ako za vrijednosti argumenata koji su suprotni brojevi njihove vrijednosti su jednake, odnosno ako je:

Definicija 4.

Funkcija je neparna ako za vrijednosti argumenata koji su suprotni brojevi njihove vrijednosti su također suprotne, odnosno ako je:

Geometrijska interpretacija parnosti i neparnosti funkcije

Iz definicije parne funkcije proizilazi da ako je tačka pripada grafiku fuhnkcije, tada i tačka , također pripada grafu. Pošto su tačke i simetrične u odnosu na to je i graf funkcije simetričan u odnosu na .

Slika 2.2 Grafička interpretacija parne (lijevo) i neparne (desno) funkcije

Analogno (Slika 2.2) iz definicije neparne funkcije uočavamo da ako je tačka pripada grafiku funkcije, tada i tačka , također pripada grafiku funkcije. Pošto su tačke simtrične i odnosu na ishodište koordinatnog sistema, zaključujemo da je neparna funkcija centralno simetrična u koordinatnom početku.

Iz geometrijske interpretacije proizilazi da pri konstrukciji grafa parne i neparne funkcije dovoljno je da prvu konstruišemo za pozitivne brojeve dok ćemo ostatak konstruisati simetrično osi , a drugu na pozitivnom dijelu ose, a ostatak centralno simetrično tački ishodišta koordinatnog sistem.

Definicija 5.

Funkcija koja nije ni parna ni neparna jednostavno zovemo ni parna ni neparna funkcija.

Primjer 5.

Funkcija , gdje je k- cijeli broj, , - su parne funkcije.

Primjer 6.

Funkcija , gdje je k- cijeli broj, , - su neparne funkcije.

Periodičnost funkcije

Definicija 6.

Funkcija se naziva periodičnom ako postoji jedan realan pozitivan broj , takav da su vrijednosti funkcije u tačkama jednake, tj. da za svako važi , pri čemu se najmanji pozitivan broj zove primitivni period ili kraće periodom funkcije f.

Ako , domeni funkcije f tada svaki broj oblika , gdje je također pripada oblasti definisanosti, i pri čemu je . Ovo se lako dokazje jer ako krenemo od početne definicije imamo: . Iz gornjeg lako zaključujemo da tačke iz domene funkcije preslikavaju se u jednu tačku skupa odnosno kodomene funkcije . Također zaključujemo da će se grafik periodične funkcije biti sastavljen od lukova koji se ponavljaju na svakom od segmenata , gdje je . Prema tome ako je funkcija peroodična dovoljno je analizirati istu na osnovnom segment , a ostalom dijelu domene se periodičnost ponavlja.

Primjer 7.

Trigonometrijske funkcije , su periodične funkcije sa periodom , a funkcije , sa periodom , tj. , pa je

Primjer 8.

Funkcija je periodična funkcija s periodom, jer je: I uopće kada imamo:

Periodičnost je pojava vrlo česta u prirodi odnosno u svakodnevnom životu . Periodičnost pojave Sunca, poslije 24 sata, kao i općenito kretanje planeta itd.

Ograničene i neograničene funkcije

Definicija 7.

Funkcija je ograničena u svojoj Domeni (oblasti definisanosti) ako je skup K odnosno skup njenih vrijednosti (Kodomena) ograničena. Drugim riječima ako postoji takva dva broja i da je za sve vrijednosti x vrijedi , gdje su i – realni brojevi.

Geometrijska interpretacija Definicije 7 je takva sa se cijeli grafik funkcije nalazi u dijelu ravni koja je ograničena sa pravcima i .

Slika 2.3 Funkcija , ograničena je pravim i

Za ograničene funkcije jednog argumenta važi sljedeća teorema.

Teorema 2.1.

Ako je funkcija ograničena na skupu x , tada postoji pozitivan broj takav da je odnosno .

Dokaz:

Ako uzmemo da je broj tj. tada je odnosno . Važi i obrnuto.

Primjer 9.

Funkcija ograničena je za , tada imamo , kao i to da je . Ovo pak znači da grafik funkcije sin i cos leže unutar trake koju čine pravci y=1 i y=-1. Vidi sliku 2.4.

Napomena: Ograničenost funkcije može biti i samo s jedne strane odnosno sa gornje ili donje strane.Drugim riječima postoji broj takav da je -ograničenost sa donje strane i takav da je –ograničenost s gornje strane.

Primjer 10.

Funkcija ograničena sa donje strane jer je .

Primjer 11.

Funkcija ograničena sa gornje strane jer je .

Kažemo da funkcija nije ograničena u koliko ne postoji realni broj M takav da je .

Slika 2.4 Ograničenost , funkcija pravim i