Category Archives: Math

Poglavlje III – IZVODI FUNKCIJE

Zadnji u nizu blog postova teksta iz 1996 godine. Cjelokupan tekst može se pogledati ovdje.

1.1 Povijest izvoda

Kad ne bi bilo izvoda (derivacije) svi naši snovi vezani za uspjeh u polju matematike bili bi lako ostvarivi. Matematika bi se bavila samo elementarnim stvarima. Doista, matematika bi se svela na elementarnu matematiku. Kažu da padom jabuke na Newtonovu glavu sve je krenulo drugačije. Ta nesretna jabuka okrenula je Newtona tada ka spoznaji osnovnih zakona dinamike i gravitacije. Newton je za dokaz svojih zakona, povrh siromašnih eksperimenata koje je izvodio, za svoje zakone morao naći matematički aparat da ih dokaže. Otkrićem diferencijalnog i integralnog računa Newton je dokazao svoje zakone, a nama običnim smrtnicima – studentima ostavio jabuke i diferencijalni račun za posvetu.

Mnogi filozofi se spore o tome koliko je jabuka palo na Newtonovu glavu. Veliki dio njih zagovara tezu da je nemoguće da padom samo jedne jabuke opravdava činjenicu Newtonovog djela. Po njihovom mišljenju smatra se da je na Newtonovu glavu palo bar desetak jabuka i to krupnijih koje rastu na vrhu drveta, u malom vremenskom intervalu . Kad ne bi bilo izvoda, čitav ovozemaljski razvoj tehnike i tehnologije sigurno bi bio na stepenu razvoja u Newtonovo doba. Možemo s pravom reći da smo imali sreće. Da nema izvoda sigurno ne bi bilo ni kompjutera, ni video igrica ni flipera. Povrh svih mučnina koje nam zadaje izvod, ipak neka samo postoje kompjuteri i ostalo uz njih, a za izvode ćemo lako – rekao je neko iz mase.

POJMOVI PREKO KOJIH SE DEFINIŠE IZVOD

Da bismo definisali izvod neke funkcije moramo objasniti neke sporedne stvari koje okružuju izvod, a to su:

• Tangenta i konstrukcija tangente

• Srednja i trenutna brzina

1.1.1 Konstrukcija tangente

Definicija tangente u elementarnoj geometriji, koja se radi u osnovnoj školi, definiše tangentu kao jednu pravu koja ima samo jednu zajedničku tačku sa kružnicom. Međutim, ima tu nešto. Tačno je da se radi o jednoj tački i tačno je da se radi o pravoj. Međutim, kada pogledamo iz drugog ugla stvari odnosno sliku 3.1, vidimo kako jedna prava siječe parabolu samo u jednoj tački, ali ova prava nije tangenta date parabole u toj tački. Prava tangenta u toj tački je prava koja je normalna na pravu i prolazi tačkom .

Slika 3.1 Položaj krive, sječice i tangente

Da bi smo došli do valjane definicije tangente uočimo sliku i sve što je na njoj nacrtano. Slika 3.2 sadrži jednu krivu , dvije tačke te pravu koja spaja ove tačke. Vidimo da prava siječe krivu u obliku kriške lubenice te ćemo je nazvati sječica . Kada hoćemo da odsjećemo što manji komad lubenice odnosno krive, mi ćemo postupiti tako da tačkupomjeramo prema tački preko ruba lubenice odnosno krive. Ako se tačka , krijući se, približava tački kriška lubenice će se sve više smanjivati.

Slika 3.2 Sječica

Sječica će se mijenjati u odnosu na početni položaj, i kad tačka teži tački , teži jednom graničnom položaju. Granični položaj sječice upravo će biti tangenta, tj. lubenica će ostati čitava.

Definicija 3.1.

Tangenta krive u datoj tački zove se granični položaj sječice kada tačka ove krive teži po krivoj ka tački .

Ako se napravimo Englezi i želimo da ne odsječemo lubenicu tj. da nam tačka teži tački koeficijent smjera krive u tački jednak je koeficijentu smjera tangente krive u toj tački. Sve prethodno rečeno kažimo na jednom drugom (matematičkom) jeziku.

Posmatrajmo sliku, tamo ćemo vidjeti krivu sličnu prošloj krivoj i koordinatni sistem . Ova kriva koju vidimo je grafik neprekidne funkcije . U gornjem dijelu smo kazali da je kojeficijent smjera sječice koja prolazi tačkama koje imaju koordinate, a . Koordinate tačke lako se prepoznaju ako znamo da je odnosno, što se sa slike može vidjeti. Nadalje, znamo da je koeficijent smjera dat izrazom:

(2.1)

Slika 3.3 Sječica

Dakle koeficijent smjera tangente krive u tački jednak je graničnoj vrijednosti količnika priraštaja funkcije i priraštaja argumenta (nezavisno promjenjive ) kad on teži nuli.

Kao i u Poglavlju I (Matematička indukcija) mi definišemo neke sporedne pojmove, nesvjesno dolazimo do onoga čemu ovdje težimo da definišemo – to je prvi izvod funkcije. Zadnja tvrdnja koju smo napisali izraz 2.1 zovemo prvi izvod funkcije ili kraće izvod funkcije , a kojeg obilježavamo sa (čitaj prim jednako prim od ). Dakle prvim izvodom funkcije zovemo:

(2.2)

Na ovaj način smo definisali šta je koeficijent smjera krive u tački, odnosno koeficijent smjera tangente u tački, a istovremeno smo se upoznali sa osnovnom metodom određivanja koeficijenta smjera tangente u datoj tački krive, odnosno vidjeli smo jednostavni postupak konstruisanja tangente.

1.1.2 Srednja i trenutna brzina

Iz fizike nam je dosta stvari jasno kada spomenemo srednju i trenutnu brzin. Kada smo slušali predavanja iz fizike profesori su nam objašnjavali da je srednja brzina količnik priraštaja puta i vremenskog intervala tj. priraštaja vremena za koje je tijelo prešlo put , odnosno:

(2.3)

Znamo da je zakon puta skoro uvijek povezan sa vremenom , pa je . Ako posmatramo priraštaj puta koji je tijelo prešlo za možemo napisati kao , pa nam je srednja brzina jednaka:

(2.4)

S gornjim izrazom uvijek se može izračunati neka srednja brzina koje se u toku nekog vremenskog intervala promijenila više puta. Međutim, ako posmatramo vremenski interval što manji promjene brzine za dati vremenski interval će biti sve manje. Kada pustimo da srednja brzina će postati trenutna:

(2.5)

Trenutna brzina (brzina u trenutku t odnosno je granična vrijednost srednje brzine u vremenskom intervalu kad . Drugim riječima:

(2.6)

I ovdje vidimo da je trenutna brzina kretnja izvod dužine puta po vremenu. Na ovaj način (preko srednje i trenutne brzine) je Newton definisao izvod funkcije pa se čak može reći da je orginalna definicija izvoda upravo definisana preko srednje odnosno trenutne brzine. Možemo s pravom kazati: Izvod je brzina promjene dužine puta po vremenu.

1.2 Pojam IzvodA funkcije

Namjernim raspravljanjem o tangenti i srednjoj i trenutnoj brzini odnosno koeficijentu smjera tangente došli smo do pojma izvoda:

(2.7)

Kao i kod definisanja trenutne brzine, u koliko je poznat zakon puta , do pojma izvoda možemo doći bilo kakvim izračunavanjem brzine promjene neke veličine u toku vremena ako je poznat zakon ovisnosti te veličine od vremena.

Definicija 3.2.

Izvod funkcije po argumentu je granična vrijednost količnika priraštaja funkcije i priraštaja argumenta kad priraštaj teži nuli, tj.

Kada govorimo o izvodima često se spominje riječ od 3 slova – diferenciranje. Diferenciranje nije ništa drugo do granični proces kojim se dolazi do izvoda y’ funkcije . Za funkciju koja ima izvod u tački kažemo da je diferencijabilna u toj tački. Kada kažemo da je funkcija direfencijabilna na nekom intervalu to znači da je ista diferencijabilna u svakoj tački intervala.

Vidjeli smo i prije nego smo definisali izvod da ona (kako je na početku rečeno) ima veliku primjenu. Kada krenemo od geometrijske interpretacije izvoda do mehanike, preko fizike i td, sve do kompjutera video-igrica i flipera.

Razmotrimo jednu važnu osobinu izvoda funkcije, a to je diferencijabilnost i neprekidnost. Prije nego smo interpretirali izvod, pretpostavljali smo da nam funkcija mora biti neprekidna. Neprekidnost i diferencijabilnost tvore sljedeću teoremu:

Teorema 3.1.

Ako funkcija definisana na intervalu ima izvod u tački koja pripada tom intervalu odnosno , (odnosno diferencijabilna je u datoj tački), tada je ona i neprekidna.

Dokaz:

Pretpostavka teoreme je da je funkcija diferencijabilna u tački tj. postoji . Ako nam je , tada možemo pisati:

Sada imamo, ako primijenimo granični proces na zadnji izraz:

Dakle, kada , tada . To znači da diferencijabilna funkcija je istovremeno i neprekidna u datoj tački.

Ovo je jedan od najvažnijih teorema koji se tiče Izvoda funkcije. Jednostavno bez ovog teorema ne bi smo mogli tako jednostavno “šetati” područjem izvoda. Gotovo kod svakog zadatka koji se tiče izvoda neke funkcije koristi se ovaj teorem.

Ako bi se pitali da li važi obrnut teorem, tj. da li je funkcija diferencijabilna ako je neprekidna, odgovor na ovo pitanje bio bi “NE”. Prije nego dokažemo ovaj teorem pročitajte sljedeću napomenu.

Napomena 3.1.

U matematici postoje dokazi za neke teoreme koje sprovodimo na taj način da nađemo bar jedan primjer koji opovrgava datu teoremu. Jednostavno pokazujući na jednom primjeru kontradiktornost teoreme mi je samim tim i dokazujemo.

Teorema 3.2.

Da li važi obrnut teorem prethodne Teoreme 2.1.

Dokaz:

Ovaj teorem ćemo dokazati navođenjem samo jednog primjera koji govori o tome da obrat ne važi. Posmatrajmo funkciju . Ta funkcija je neprekidna na čitavom intervalu realnih brojeva. Graf funkcije daje je na slici 2.3. Sa slike se može vidjeti da jea . Iz zadnjih izraza vidimo da je granična vrijednost količnika za lijevu i desnu graničnu vrijednost po argumentu različita, što znači da derivacija funkcije u tački nema jedinstven izvod. Drugim riječima funkcija u tački nije diferencijabilna. Dokaz teoreme je završen.

Slika 3.4 Grafik funkcije .

Na osnovu prethodne dvije teoreme zaključujemo: svaka diferencijabilna funkcija ujedno je i neprekidna, dok svaka neprekidna funkcija nije uvijek i diferencijabilna. Pojam diferencijabilnosti je uži pojam od pojma neprekidnosti.

Posted in Lično, Math

Matematika odabrana poglavlja konačno u digitalnoj formi

Oct 3

Posted by Bahrudin Hrnjica

U nekoliko blog postova objavljivao sam dio tekstova iz matematike kojeg sam davno pisao (1996. god), većinom uz svijeću jer prošlo je nekoliko mjeseci od prestanka rata, dok se uspostavio elekto-prenosni sistem. Nažalost sva planirana poglavlja nisam napisao, šteta, jer danas se ne mogu vratiti u tu furku koju sam tada furo, pa nastaviti ovo po meni vrlo korisno djelo pisati. Po reakcijama koji su mi prijatelji i rijetki čitaoci davali, nije izgledalo loše. Isto tako, od kako sam objavio prve stranice teksta na blogu, post se jako puno čita što potkrepljuju i statistike koje pratim na blogu. Isto tako u rubrici “Naj postovi” svi mogu vidjeti da se tu konstantno nalaze članci o matematičkoj indukciji. Danas sam konačno završio naslovnu stranu, i otkucao sav tekst koji planiram objaviti. Ostalo je jedno nedovršeno poglavlje koje sam odlučio da ga ne uključujem. Naslovnu stranu koju sam osmislio, sproveo je u djelo moj prijatelj Almir Štrkljević oko 1997 godine.

Naime, kod naslovne strane imao sam ideju da prikažem karikaturu Newtona i famozne jabuke, kao i karikaturu integrala $\int f(x) dx$ . Svojom nadarenošću i sklonošću za crtanjem stripova i karikatura Almir je to vrlo zdušno prihvatio i potrudio se da onako, kako sam zamislio da to i nacrta. Ovom prilikom mu se od srca zahvaljujem.

Tekst sam prekucao i nije prošao lekturu i korekcije pa sam svjesan da sadrži puno kako kucanih tako i gramatičkih grešaka. Pokušaću ih ispraviti prije nego što cijelokupni tekst stavim za download.

U ovom sabranom radu nalaze se tri poglavlja i to : Matematička indukcija, Funkcije i Izvodi. Knjiga sadrži oko 100 stranica A4 formata i veličine fonta 11.

U koliko nađete za shodno da vam može poslužiti ova knjiga slobodno je komentirajte i dajte svoje sugestije i primjedbe. Nažalost, ne namjeravam ovu knjigu obrađivati ponovo odnosno pisati naredno izdanje, jedini cilj mi je bio pretvoriti je u digitalnu formu. Cjelokupan tekst može se pogledati ovdje.

Na kraju nekoliko fotografija rukopisa:

Posted in Lično, Math

II poglavlje: Funkcije–I dio

Sep 15

Posted by Bahrudin Hrnjica

… dio teksta napisanog 1996 o nekim temama iz matematike … Cjelokupan tekst može se pogledati ovdje.

Pojam funkcije

Čim čujemo riječ funkcije odmah pomislimo na razna mjesta koja nas čekaju kad završimo fakultet. Bit ćemo neki inženjeri bili diplomirani ili ne, ali funkcije nas čekaju, odnosno neko radno mjesto na kome ćemo obavljati neke poslove, gdje ćemo za uzvrat dobijati platu. Bilo kako bilo funkcija nam je neophodna da bi egzistirali, da bi smo postojali. Samim dobijanjem funkcije postajemo funkcioneri. Čitav ovozemaljski svijet sastoji se iz bezbroj funkcija, nekih procesa razmjenjivanja, uzimanja, oslobađanja, davanja itd. U stvari funkcija je neki proces pri kojem se nešto odvija-događa i pri kome postoji jedan ili više određenih pravila događanja, pa bili oni čak i slučajni (tada govorimoo slučajnim procesima). Sve te životne funkcije dosta su slične pojmu funkcije koju definiše matematika. U stvari nema ni jedne čak i najjednostavnije teoreme u matematici, a da se ne može primjeniti u stvarnom životu. Kada posmatramo neki proces zapazićemo da se neke od veličina koje učestvuju u tom procesu mjenjaju – uzimaju različite vrijednosti, dok druge imaju konstantnu vrijednost. Primjera za to ima bezbroj.

Kada stojimo pored štanda voća. Primjetićemo da svaka kila jabuke dobija jednu te istu sumu novaca od 2 DM (demokratske marke što bi rekao jedam moj prijatelj). Odnosno svaka kila krušaka 3 DM ili grožđa 5 DM. Kada se poveća masa jabuka i ostalog voća poveća se i njihova cijena. U ovom slučaju imamo proporcionalno povećanje cijene voća sa njegovom masom. Nadalje posmatrajmo jednu totalno glupu situaciju u kojoj želimo da naduvamo staklenu flašu. Duvanjem u flašu dovodimo zrak u flašu, ali volumen flaše ostaje isti, samo smo promjenili temparaturu vazduha i pritisak u staklenoj flaši. Ovo je jedan primjer kada se dvije veličine mjenjaju dok je treća konstantna. Primjera ima bezbroj no mi ćemo zaključak dati iz ova dva suštinska primjera. Vidimo da postoje veličine koje se mjenjaju, i koje ostaju konstantne pa ćemo definisati sljedeće:

Definicija 1.

Veličina koja pod datim uslovima može poprimiti različite brojne vrijednosti zovemo promjenjivom veličinom. Veličina koja se u datim uslovima ne mjenja već uvijek „stoji“ na istoj brojnoj vrijednosti zovemo stalnom ili konstantnom veličinom.

Skup svih brojnih vrijednosti date promjenjive veličine zovemo oblast promjene te promjenjive. Konstante koje nikako ne mjenjaju svoju vrijednost zovemo apsolutne konstante. Nrp - Ludolfov broj, gravitaciona konstanta itd.

Međutim, u cilju općih formulacija i mogućnosti dobijanja zaključaka, dobro je i te kontantne veličine posmatrati kao specijalne slučajeve promjenjivih veličina. To je pogotovo korisno kod dokazivanja raznih teorema koje su povezane sa konstantnim veličinama.

Definišimo dva skupa i , tako da je element skupa , a element skupa , drugim riječima i . Preslikavanje skupa na definisano je zakonom korespodencije gdje svakom odgovara jedan element . Element koji pripada zvaćemo argument ili nezavisno promjenjiva. Element koji pripada zvaćemo zavisno promjenjiva ili funkcija.

Definicija 2.

Funcija jedne nezavisno promjenjive (jednog argumenta) zovemo preslikavanje skupa (vrijednosti argumenata) na skup vrijednosti promjenjive po jednom određenom fiksnom zakonu korespodencije (dodjeljivanja).

Pravilo pridruživanja označavaćemo sa tako da se funkcija može simbolički napisati:

ili (čitaj y je jednako ef od x)

ili (čitaj y je jednako fi od x)

Definicija 2.2 je smisao simbolike . Znači svakom elementu , odgovara jedan element . Definicija 2.2 također nam daje smjernice za definisanje funkcije. Pa tako da bi funkciju definisali potrebno je definisati:

Skup vrijednosti elementata .
Zakon dodjeljivanja ili korespodencije
Skup vrijednosti funkcije .

Skup vrijednosti koji može primiti argument zovemo još i oblast definisanosti ili domena funkcije . Skup zovemo skupom vrijednosti ili kodomena funkcije. Ako je na primjer tj pripada domeni funkcije , tada pripada kodomeni funkcije odnosno . Još se kaže da predstavlja sliku elementa u skupu . Ako postoji tada nema smisla.

Također se može desiti sa i imamo istu vrijednost funcije odnosno vrijedi da je:

Ovo znači da dvije različite vrijednosti argumenata iz domene preslikavaju se i jednu te istu tačku kodomene. Ovaj slučaj možemo pokazati na jednom jednostavnom primjeru.

Primjer 1.

Ako imamo funkciju , tada za i imamo istu vrijednost funkcije .

Matematički izraziti funkciju znači naći određenu uzajamnu korespodenciju između dva skupa. Načini na koji se funkcija zadaje ili izražava više je praktično pitanje nego suštinsko. Funkciju možemo zadati grafički, tablično i analitički.

Grafički način predstavljanja funkcije sastoji se iz geometrijske prezentacije jedne funkcije u koordinatnom sistemu, gdje svaki uređeni par brojeva , gdje je – argument, a - zavisno promjenjiva funkcija, zamišljamo kao par koordinata tačke u koordinatnom sistemu u ravni . Skup svih takvih tačaka u ravni čije su apcise vrijednosti argumenata , a ordinate odgovarajuće vrijednosti funkcije zovemo grafik funkcije.

Grafik na vidan način prikazuje ponašanje funkcije tj. njenu monotonost, maksimalnu i minimalnu vrijednost, vrijednosti argument, nul tačke funkcije, odnosno sve osobine koje su sastavni dio funkcije. Zato se u drugim naukama Fizici, Biologiji, Psihologiji i dr. izrađuju slični grafici i dijagrami gdje se prati tok nekog procesa (pokusa) i grafički prikazuju osobine tog procesa. Jedan od primjera je dijagram momenta savijanja proste grede. Iz dijagrama možemo primjetiti kako se mjenja moment savijanja duž grede od početne tačke do krajnje tačke .

Slika 2.1 Dijagram momenta savijanja grede

Sa slike vidimo da je najveći ili maksimalni momenat u tački koja se nalazi na sredini, odnosno na mjestu gdje djeluje skoncentrisano opterećenje . Na slici također uočavamo da je izrađen dijagam u funkciji dužine grede odnosno matematički rečeno .

Tabelarni način zadavanja funkcije imamo u slučaju kada izvjesnim vrijednostima argumenata pridružujemo zavisno promjenjive , a da pri tom neznamo ili nas ne zanima način pridruživanja . Tablični način predstavljanja često koristimo u prirodnim i tehničkim naukama, u eksperimentalnim istraživanjim i sl. Na osnovu eksperimenta dolazimo do uređenih parova . Ovi parovi se tabelarno prikazuju na sljedeći način:

Tabela 2.1 Tabearni prikaz funkcije

			…
			…

Analitički način zadavanje funkcije sastoji se u tome da zakon preslikavanja damo matematičkim izrazom ili formulom. Domenu funkcije zadane u analitičkom obliku određujemo iz samog izraza, odnosno pronalazimo skup svih mogućih rješenja za koje je izraz ima slisla.

Primjer 2.

Funkcija ima domenu svih realnih brojeva simbolički zapisano , jer je izraz (formula) definisan za sve realne brojeve.

Primjer 3.

Funkcija ima domenu svih poziotivnih realnih brojeva manjih ili jednako od 5 simbolički zapisano .

Primjer 4.

Funkcija ima domenu koja se izračunava na sljedeći način:

Na osnovu gornjih izraza domena je definisana za:

Ako dvije ili više funkcija imaju istu domenu tada se mogu posmatrati zbir, razlika proizvod i količnik funkcija, odnosno mogu se posmatrati određene algebarske operacije među funkcijama. Imamo:

Jednakost dviju funkcija

Zadane su funkcije , koje se definisane na skupovima , i . Za dvije funkcije kažemo da su jednake ako je:

– definišu istu domenu,
– imaju istu kodomenu,
– imaju iste funkcije.

Parne i neparne funkcije

Definicija 3.

Funkcija je parna ako za vrijednosti argumenata koji su suprotni brojevi njihove vrijednosti su jednake, odnosno ako je:

Definicija 4.

Funkcija je neparna ako za vrijednosti argumenata koji su suprotni brojevi njihove vrijednosti su također suprotne, odnosno ako je:

Geometrijska interpretacija parnosti i neparnosti funkcije

Iz definicije parne funkcije proizilazi da ako je tačka pripada grafiku fuhnkcije, tada i tačka , također pripada grafu. Pošto su tačke i simetrične u odnosu na to je i graf funkcije simetričan u odnosu na .

Slika 2.2 Grafička interpretacija parne (lijevo) i neparne (desno) funkcije

Analogno (Slika 2.2) iz definicije neparne funkcije uočavamo da ako je tačka pripada grafiku funkcije, tada i tačka , također pripada grafiku funkcije. Pošto su tačke simtrične i odnosu na ishodište koordinatnog sistema, zaključujemo da je neparna funkcija centralno simetrična u koordinatnom početku.

Iz geometrijske interpretacije proizilazi da pri konstrukciji grafa parne i neparne funkcije dovoljno je da prvu konstruišemo za pozitivne brojeve dok ćemo ostatak konstruisati simetrično osi , a drugu na pozitivnom dijelu ose, a ostatak centralno simetrično tački ishodišta koordinatnog sistem.

Definicija 5.

Funkcija koja nije ni parna ni neparna jednostavno zovemo ni parna ni neparna funkcija.

Primjer 5.

Funkcija , gdje je k- cijeli broj, , - su parne funkcije.

Primjer 6.

Funkcija , gdje je k- cijeli broj, , - su neparne funkcije.

Periodičnost funkcije

Definicija 6.

Funkcija se naziva periodičnom ako postoji jedan realan pozitivan broj , takav da su vrijednosti funkcije u tačkama jednake, tj. da za svako važi , pri čemu se najmanji pozitivan broj zove primitivni period ili kraće periodom funkcije f.

Ako , domeni funkcije f tada svaki broj oblika , gdje je također pripada oblasti definisanosti, i pri čemu je . Ovo se lako dokazje jer ako krenemo od početne definicije imamo: . Iz gornjeg lako zaključujemo da tačke iz domene funkcije preslikavaju se u jednu tačku skupa odnosno kodomene funkcije . Također zaključujemo da će se grafik periodične funkcije biti sastavljen od lukova koji se ponavljaju na svakom od segmenata , gdje je . Prema tome ako je funkcija peroodična dovoljno je analizirati istu na osnovnom segment , a ostalom dijelu domene se periodičnost ponavlja.

Primjer 7.

Trigonometrijske funkcije , su periodične funkcije sa periodom , a funkcije , sa periodom , tj.

, pa je

Primjer 8.

Funkcija je periodična funkcija s periodom, jer je:

I uopće kada imamo:

Ovo ne morate čitati

Periodičnost funkcije može se zadati i samo na nekom segmentu. Tako da u primjeru 7 funkciju ograničavamo samo na segment , a ispitivanje funkcije na .

Periodičnost je pojava vrlo česta u prirodi odnosno u svakodnevnom životu . Periodičnost pojave Sunca, poslije 24 sata, kao i općenito kretanje planeta itd.

Ograničene i neograničene funkcije

Definicija 7.

Funkcija je ograničena u svojoj Domeni (oblasti definisanosti) ako je skup K odnosno skup njenih vrijednosti (Kodomena) ograničena. Drugim riječima ako postoji takva dva broja i da je za sve vrijednosti x vrijedi , gdje su i – realni brojevi.

Geometrijska interpretacija Definicije 7 je takva sa se cijeli grafik funkcije nalazi u dijelu ravni koja je ograničena sa pravcima i .

Slika 2.3 Funkcija , ograničena je pravim i

Za ograničene funkcije jednog argumenta važi sljedeća teorema.

Teorema 2.1.

Ako je funkcija ograničena na skupu x , tada postoji pozitivan broj takav da je odnosno .

Dokaz:

Ako uzmemo da je broj tj. tada je odnosno . Važi i obrnuto.

Primjer 9.

Funkcija ograničena je za , tada imamo , kao i to da je . Ovo pak znači da grafik funkcije sin i cos leže unutar trake koju čine pravci y=1 i y=-1. Vidi sliku 2.4.

Napomena: Ograničenost funkcije može biti i samo s jedne strane odnosno sa gornje ili donje strane.Drugim riječima postoji broj takav da je -ograničenost sa donje strane i takav da je –ograničenost s gornje strane.

Primjer 10.

Funkcija ograničena sa donje strane jer je .

Primjer 11.

Funkcija ograničena sa gornje strane jer je .

Kažemo da funkcija nije ograničena u koliko ne postoji realni broj M takav da je .

Slika 2.4 Ograničenost , funkcija pravim i

Posted in Math

Matematička Indukcija II dio

Jun 5

Posted by Bahrudin Hrnjica

Nastavak prethodnog posta o matematičkoj indukciji….. Cjelokupan tekst može se pogledati ovdje.

Zadatak 2: Dokazati da za svaki prirodan broj n vrijedi:

dijeljivo sa 7.

Dokaz: Prvi korak napravimo na brzinu jer jedino je to ovdje shvatljivo.

Za n=1, , djeljivo sa 7

Za n=2, , djeljivo sa 7.

Pretpostavimo da je Zadatak 2, za neki prirodan broj n=k (k>n₀) dijeljiv sa 7. To znači slično kao i u primjeru da možemo pisati:

—–(13)

Treći korak sprovodimo kao u primjeru 2:

Vidimo da je izraz u zagradi ona ista pretpostavka sa pročetka primjera jednačina (13), pa je ona dijeljiva sa 7, a broj 35 je svakako dijeljiv sa 7 pa cijeli izraz je dijeljiv sa 7.

Vidimo da iz pretpostavke za n=k, broj djeljiv sa 7, dokazali smo da je za n=k+1 takodjer djeljivo sa 7 to znači da je izraz djeljiv za 7 za svaki prirodan broj.

Vidljivo je da smo dokazali neke primjere i zadatke pomoću matematičke indukcije dosta jednostavno. Međutim ostali zadaci koji dati nisu ništa zahtjevniji od ovih. Jedino je problem u tome što idući zadaci zahtijevaju malo više poznavanja elementarne matematike. To je ona matematika koju ste radili u Osnovnoj i srednjoj školi. Znači bez straha i bilo kakvih averzija okrenite siljedeći list i naići ćete na najljepši zadataka u matematičkoj indukciji. Sljedeći zadatak je bio MISS Ljeta 1888 godine, njegove prve i druge pratilje slijede iza njega.

Zadatak 3: Dokazati da vrijedi za svaki prirodan broj:

Rješenje:

Za n=1,

tačno.

Za n=2,

tačno.

Pretpostavimo da zadatak 3 vrijedi za n=k, odnosno:

Poznato vam je da uvijek kod ovakvih zadataka u trećem koraku uvijek dodajemo objema stranama sljedeći broj zadnjeg broja lijeve strane. S toga imamo:

U zadatku 1 smo diskutovali o sljedećem broju nepranih brojeva. Sljedeći broj broja 2k+1 je 2k+3, jer je 2(k+1)+1= 2k+3. Zadnja jednakost (16) znači da smo iz pretpostavke (15) vrijedni za n=k, dokazali da vrijedi i za n= k+1, pa zaključujemo po matematičkoj indukciji da Zadataka 3 vrijedni za sve prirodne brojeve.

Do jednakosti (13) iz jednakosti (12) lako smo došli iako se nekima čini da nije. Ove sve k-ove koje vidite u zadnjim jednakostima, to je u stvari samo jedan k, ali napisan u drugim oblicima.

Ako bolje pogledate sve one transformacije vidjećete da se one sastoje samo u sabiranju razlomaka, izvlačenju zajedničkih množitelja i nekoliko dvica, trica i šestica.

Zadatak 4: Dokazati da vrijedi za svaki prirodan broj:

Rješenje:

Za n=1,

tačno.

Za n=2,

tačno.

Pretpostavimo da zadatak 4 vrijedi za neki prirodan broj k, odnosno:

Korak 3 koji slijedi sličan je kao i u zadatku 3, tj. dodajmo objema stranama pa imamo:

Vidimo da uz prepostavku za n=k, izraz vrijedi i za n=k+1, s toga i za svaki prirodan broj.

Zadatak 5: Dokazati da vrijedi za svaki prirodan broj:

Rješenje:

Za n=1,

tačno.

Za n=2,

tačno.

Pretpostavimo da jednakost vrijedi za neki n=k,tj.

Sada kada smo napisali pretpostavku po ko zna koji put moramo dodati sljedeći broj broja k(k+1), a to je (k+1)(k+2), pa imamo:

Vidimo da smo iz pretpostavke da vrijedi za n=k, dokazali da zadnja jednakost vrijedi i za n=k+1, što znači da vrijedi i za svaki prirodan broj n.

Zadatak 6: Dokazati da je za svaki prirodan broj, broj:

djeljivo sa 9.

Rješenje:

Za n=1,

dijeljivo sa 9.

Za n=2,

dijeljivo sa 9.

Pretpostavimo da je za n=k, izraz (15) dijeljiv sa 9. To možemo pisati kao:

Za n=k+1, imamo:

Ponovo vidimo da koristeći pretpostavku lako dokazujemo da nam izraz (15) dijeljiv sa 9, za svaki prirodan broj. Sve to nam omogućuje matematička indukcija. Bez nje ne bismo lako dokazali ne samo ovaj zadatak. Zato s pravom moramo reći: Hvala ti hvala draga naša indukcijo.

Zadatak 7: Dokazati da za svaki prirodan broj broj:

dijeljiv sa 10.

Dokaz:

Za n=1,

dijeljivo sa 10.

Za n=2,

dijeljivo sa 10.

Pretpostavimo da je za n=k, izraz (16) dijeljiv sa 10. To možemo pisati kao:

Za n=k+1, imamo:

Vidimo da iz prtpostavke za n=k lako dokazujemo da (16) vrijedi za n=k+1, odnosno da vrijedi za svaki prirodan broj.

Zadatak 8: Dokazati da za svaki prirodan broj broj:

dijeljiv sa 5.

Dokaz:

Za n=1,

dijeljivo sa 5.

Za n=2,

dijeljivo sa 5.

Pretpostavimo da je za n=k, izraz (18) dijeljiv sa 5. To možemo pisati kao:

Za n=k+1 imamo:

Jednostavnim dokazom, uz pomoć pretpostavke, dokazali smo da izraz (18) vrijedi za k=k+1, pa nam zbog matematičke indukcije v ijedi za svaki prirodan broj. Glavni šablon ovog tipa zadataka (o djeljivosti ) je da kada se radi treći korak u eksponentu ostavi onoliko koliko ima u pretpostavci, a višak se spusti kao množitelj. Taj množitelj izvlačimo ispred zagrade dok u zagradi stavljamo samo ono što je u pretpostavci. Dakle mi se bi „naštimamo“ pretpostavku a sve ono što moramo oduzeti ili dokazati stavljamo iza zagrade. Nije slučajno da sav višak uvijek bude djeljiv sa onim brojm za kojeg ga mi provjeravamo.

Treći česti slučaj tipova zadataka koji se dokazuju matematičkom indukcijom su nejednakosti. One su još jednostavnije, a sve se bazira na tome da ako je npr. 150 > 50, tada je i 200>50, odnosno 150 >1.

Prije nego to pređemo na zadatke uvedimo pojam Leme.

Lema je pomoćna teorema. Odnosno to je jedan mali podzadatak nekog zadatka. Ako rješavamo neki zadatak i dođemo do jedne tvrdnje koju moramo posebno dokazivati mi je definišemo kao lemu.

Zadatak 9: Dokazati da za svaki prirodan broj n,gdje je vrijedi nejednakost:

Dokaz: Pošto ovaj zadatak dokazujemo pomoću matematičke indukcije onda se moramo držati njenih postavki i redoslijeda. Što znači da prvo moramo provjeriti da li ta nejednakost vrijedi za prvih nekoliko prirodnih brojeva. Uslov zadatka na kaže da provjerimo od 5 pa dalje.

Za n=5,

Nejednakost je tačna.

Za n=6,

Nejednakost je tačna.

Dokažimo Lemu koja kaže:

Lema 1: Za svaki m>2 izraz

Dokaz:

Ovu lemu također ćemo dokazati matematičkom indukcijom.

Za n=3,

Tvrdnja je tačna.

Za n=4,

Tvrdnja je tačna.

Neka je za neki m=l (l>2) vrijedi:

Za m=l+1 imamo:

Zadnja nejednakost koju smo dobili je očigledna. Jer je l>2 pa svaki kvadrat je većiod dva.

AKosada tu trivijalnu nejednakost stavimo kao prvu i krenemo unazada doći ćemo do nekednakosti (21), što znači da je nejednakost tačna. Znači po principu matematičke indukcije Lema 1 je tačna za sve prirodne brojeve veće od 2.

Lemu 1 možemo koristiti kao dokazni materijal u sve i jednom sadašnjem i budućem zadatku.

Nastavimo rješavanje zadatka 9. Ostao nam je treči korak pa sada imamo:

Za n=k+1 imamo:

Maloprije smo dokazali da nam je:

Ako sada lijevoj i desnoj strani (Leme 1) dodamo broj imamo:

Sada stupa na scenu naša pretpostavka (kada je pomnožimosa 2) koja kaže da je:

Pomnožimo je sa 2 imamo:

Pa je:

odnosno,

Vidimo das mo i ne znajući dokazali da je iz pretpostavke za n=k nejednakost vrijedi za n=k+1, što nam je potrebno I dovoljno da kažemo da nejednakost vrijedi za svaki prirodan broj.

Ako neko čitajući ovo rješenje zadatka 9, nije shvatio posljednje nejednakosti, predlažem da pročita mali uvod o dokazivanju nejednakosti I obrati pažnju na činjenicu da ako je npr: 150>50 tada je 200>50 odnosno 150 >1.

Zadatak 10: Dokazati da za svaki prirodan broj veći ili jednak od 5 vrijedi nejednakost:

Rješenje:

Za n=5,

Nejednakost je tačna.

Za n=6,

Nejednakost je tačna.

Pretpostavimo da je za neki n=k , vrijedi:

Koristeći ovu pretpostavku (22), te koristeći nejednakost da je , što je očigledno jer je: , dobijamo treći korak odnosno dokaza ćemo treći korak a samim tim i zadatak 11.

Dakle,

Sabiranjem gornjih nejednakosti imamo:

Odnosno sređivanjem:

Zadnjim izrazom da nejednakost vrijedi i za n= k+1. Zadnje nejednakosti daju nam zaključiti ako imamo na umu matematičku indukciju da izraz (22) vrijedi za svaki prirodan broj

Zadatak 11: Dokazati da za svaki prirodan broj vrijedi nejednakost:

Rješenje:

Za n=2 imamo:

Za prvi prirodan broj za koji treba dokazati da vrijedi nejednakost (23) imamo izraz (24). Kod deduktivnog načina dokazivanja nejednakosti (kojeg ćemo sada primjeniti) trebamoiz polazne nejednakosti (24) nizom matematičkih dozvoljenih operacija doći do trivijalne nejednakosti koju lako primjećujemo čak i kad te brojeve zamijenimo sa kruškama i jabukama.

Pokušajmo to sa nejednakosti (24):

Sabiranjem lijeve strane:

Pomnožimo cijelu nejednakost sa .

Odnosno:

Sada smodošli do jedne trivijalno-očigledne nejednakosti, gdje u svaka doba dana i noći znamo daje , što znači da je izraz (23) tačan za n=2.

Za n=3 imamo:

Istim postupkom kao i za n=2 imamo:

Sabiranjem lijeve strane:

Množenjem sa imamo:

Kvadriranjem cijele nejednačine:

U svako doba dana i noći mi znamo da nam je pozitivno i uvijek veće od bilo kojeg negativnog broja, što znači da je izraz (25) tačan.

Pretpostavimo da je za neki n=k izraz (23) tačan, tj:

Na tako pretpostavljenu nejednakost dodajmo k+1.-vi član. Imamo:

Dokažimo sada da je:

Ostavljanjem samo na lijevoj strani a ostatak prebacimo na desnu imamo:

Pa je:

Množenjem sa imamo:

Kvadriranjem cijele nejednakosti imamo:

Odnosno:

Što vrijedi za svaki prirodan broj pa i polazna nejednakost. Ako sada ovu dokazanu nejednakost primjenimo na (27) imamo:

Odnosno

Pa zaključujemo da smo preko pretpostavke (26) došli do zaključka da (23) vrijedi za svaki prirodan broj.

Vidjeli smo kako se rješavaju nejednačine preko matematičke indukcije. U biti sve se svodi na pomenutu nejednakost akoje 150>50 tada je i200>50 tj. 150>1.