II poglavlje: Funkcije–I dio


… dio teksta napisanog 1996 o nekim temama iz matematike …  Cjelokupan tekst može se pogledati ovdje.

 

Pojam funkcije

Čim čujemo riječ funkcije odmah pomislimo na razna mjesta koja nas čekaju kad završimo fakultet. Bit ćemo neki inženjeri bili diplomirani ili ne, ali funkcije nas čekaju, odnosno neko radno mjesto na kome ćemo obavljati neke poslove, gdje ćemo za uzvrat dobijati platu. Bilo kako bilo funkcija nam je neophodna da bi egzistirali, da bi smo postojali. Samim dobijanjem funkcije postajemo funkcioneri. Čitav ovozemaljski svijet sastoji se iz bezbroj funkcija, nekih procesa razmjenjivanja, uzimanja, oslobađanja, davanja itd. U stvari funkcija je neki proces pri kojem se nešto odvija-događa i pri kome postoji jedan ili više određenih pravila događanja, pa bili oni čak i slučajni (tada govorimoo slučajnim procesima). Sve te životne funkcije dosta su slične pojmu funkcije koju definiše matematika. U stvari nema ni jedne čak i najjednostavnije teoreme u matematici, a da se ne može primjeniti u stvarnom životu. Kada posmatramo neki proces zapazićemo da se neke od veličina koje učestvuju u tom procesu mjenjaju – uzimaju različite vrijednosti, dok druge imaju konstantnu vrijednost. Primjera za to ima bezbroj.

Kada stojimo pored štanda voća. Primjetićemo da svaka kila jabuke dobija jednu te istu sumu novaca od 2 DM (demokratske marke što bi rekao jedam moj prijatelj). Odnosno svaka kila krušaka 3 DM ili grožđa 5 DM. Kada se poveća masa jabuka i ostalog voća poveća se i njihova cijena. U ovom slučaju imamo proporcionalno povećanje cijene voća sa njegovom masom. Nadalje posmatrajmo jednu totalno glupu situaciju u kojoj želimo da naduvamo staklenu flašu. Duvanjem u flašu dovodimo zrak u flašu, ali volumen flaše ostaje isti, samo smo promjenili temparaturu vazduha i pritisak u staklenoj flaši. Ovo je jedan primjer kada se dvije veličine mjenjaju dok je treća konstantna. Primjera ima bezbroj no mi ćemo zaključak dati iz ova dva suštinska primjera. Vidimo da postoje veličine koje se mjenjaju, i koje ostaju konstantne pa ćemo definisati sljedeće:

Definicija 1.

Veličina koja pod datim uslovima može poprimiti različite brojne vrijednosti zovemo promjenjivom veličinom. Veličina koja se u datim uslovima ne mjenja već uvijek „stoji“ na istoj brojnoj vrijednosti zovemo stalnom ili konstantnom veličinom.

Skup svih brojnih vrijednosti date promjenjive veličine zovemo oblast promjene te promjenjive. Konstante koje nikako ne mjenjaju svoju vrijednost zovemo apsolutne konstante. Nrp clip_image002– Ludolfov broj, gravitaciona konstanta clip_image004 itd.

Međutim, u cilju općih formulacija i mogućnosti dobijanja zaključaka, dobro je i te kontantne veličine posmatrati kao specijalne slučajeve promjenjivih veličina. To je pogotovo korisno kod dokazivanja raznih teorema koje su povezane sa konstantnim veličinama.

Definišimo dva skupa clip_image006 i clip_image008, tako da je clip_image010 element skupa clip_image006[1], a clip_image012 element skupa clip_image008[1], drugim riječima clip_image014 i clip_image016. Preslikavanje skupa clip_image018 na clip_image020 definisano je zakonom korespodencije gdje svakom clip_image022odgovara jedan element clip_image024. Element clip_image010[1] koji pripada clip_image026zvaćemo argument ili nezavisno promjenjiva. Element clip_image012[1] koji pripada clip_image020[1] zvaćemo zavisno promjenjiva ili funkcija.

Definicija 2.

Funcija jedne nezavisno promjenjive (jednog argumenta) zovemo preslikavanje skupa clip_image028 (vrijednosti argumenata) na skup clip_image030 vrijednosti promjenjive po jednom određenom fiksnom zakonu korespodencije (dodjeljivanja).

Pravilo pridruživanja označavaćemo sa clip_image032 tako da se funkcija može simbolički napisati:

clip_image034 ili clip_image036 (čitaj y je jednako ef od x)

clip_image038 ili clip_image040 (čitaj y je jednako fi od x)

Definicija 2.2 je smisao simbolike clip_image036[1]. Znači svakom elementu clip_image014[1], odgovara jedan element clip_image016[1]. Definicija 2.2 također nam daje smjernice za definisanje funkcije. Pa tako da bi funkciju definisali potrebno je definisati:

  1. Skup clip_image006[2] vrijednosti elementata clip_image010[2].
  2. Zakon dodjeljivanja ili korespodencije clip_image042
  3. Skup clip_image044 vrijednosti funkcije clip_image036[2].

Skup clip_image046 vrijednosti koji može primiti argument clip_image010[3] zovemo još i oblast definisanosti ili domena funkcije clip_image036[3]. Skup clip_image020[2] zovemo skupom vrijednosti ili kodomena funkcije. Ako je na primjer clip_image048 tjclip_image050 pripada domeni funkcije clip_image052, tada clip_image052[1] pripada kodomeni funkcije odnosno clip_image054. Još se kaže da clip_image056 predstavlja sliku elementa clip_image048[1] u skupu clip_image058. Ako postoji clip_image060 tada clip_image062 nema smisla.

Također se može desiti sa clip_image064 i clip_image066 imamo istu vrijednost funcije odnosno vrijedi da je:

clip_image068

Ovo znači da dvije različite vrijednosti argumenata iz domene preslikavaju se i jednu te istu tačku kodomene. Ovaj slučaj možemo pokazati na jednom jednostavnom primjeru.

Primjer 1.

Ako imamo funkciju clip_image070 , tada za clip_image072 i clip_image074 imamo istu vrijednost funkcije clip_image076.

Matematički izraziti funkciju znači naći određenu uzajamnu korespodenciju između dva skupa. Načini na koji se funkcija zadaje ili izražava više je praktično pitanje nego suštinsko. Funkciju možemo zadati grafički, tablično i analitički.

Grafički način predstavljanja funkcije sastoji se iz geometrijske prezentacije jedne funkcije u koordinatnom sistemu, gdje svaki uređeni par brojeva clip_image078, gdje je clip_image056[1] – argument, a clip_image080– zavisno promjenjiva funkcija, zamišljamo kao par koordinata tačke u koordinatnom sistemu u ravni . Skup svih takvih tačaka u ravni clip_image082 čije su apcise vrijednosti argumenata clip_image056[2], a ordinate odgovarajuće vrijednosti funkcije zovemo grafik funkcije.

Grafik na vidan način prikazuje ponašanje funkcije tj. njenu monotonost, maksimalnu i minimalnu vrijednost, vrijednosti argument, nul tačke funkcije, odnosno sve osobine koje su sastavni dio funkcije. Zato se u drugim naukama Fizici, Biologiji, Psihologiji i dr. izrađuju slični grafici i dijagrami gdje se prati tok nekog procesa (pokusa) i grafički prikazuju osobine tog procesa. Jedan od primjera je dijagram momenta savijanja proste grede. Iz dijagrama možemo primjetiti kako se mjenja moment savijanja duž grede od početne tačke clip_image084 do krajnje tačke clip_image086.

clip_image088

Slika 2.1 Dijagram momenta savijanja grede

Sa slike vidimo da je najveći ili maksimalni momenat u tački clip_image090 koja se nalazi na sredini, odnosno na mjestu gdje djeluje skoncentrisano opterećenje clip_image092. Na slici također uočavamo da je izrađen dijagam u funkciji dužine grede clip_image010[4] odnosno matematički rečeno clip_image094.

Tabelarni način zadavanja funkcije imamo u slučaju kada izvjesnim vrijednostima argumenata clip_image096 pridružujemo zavisno promjenjive clip_image098, a da pri tom neznamo ili nas ne zanima način pridruživanja . Tablični način predstavljanja često koristimo u prirodnim i tehničkim naukama, u eksperimentalnim istraživanjim i sl. Na osnovu eksperimenta dolazimo do uređenih parova clip_image100. Ovi parovi se tabelarno prikazuju na sljedeći način:

Tabela 2.1 Tabearni prikaz funkcije

clip_image102

clip_image104

clip_image106

clip_image108

clip_image110

clip_image112

clip_image114

clip_image116

Analitički način zadavanje funkcije sastoji se u tome da zakon preslikavanja clip_image042[1] damo matematičkim izrazom ili formulom. Domenu funkcije zadane u analitičkom obliku određujemo iz samog izraza, odnosno pronalazimo skup svih mogućih rješenja za koje je izraz ima slisla.

Primjer 2.

Funkcija clip_image118 ima domenu svih realnih brojeva simbolički zapisano clip_image120, jer je izraz (formula) clip_image122 definisan za sve realne brojeve.

Primjer 3.

Funkcija clip_image124 ima domenu svih poziotivnih realnih brojeva manjih ili jednako od 5 simbolički zapisano clip_image126.

Primjer 4.

Funkcija clip_image128 ima domenu koja se izračunava na sljedeći način:

clip_image130 i clip_image132

clip_image134 i clip_image136

Na osnovu gornjih izraza domena je definisana za:

clip_image138

Ako dvije ili više funkcija imaju istu domenu tada se mogu posmatrati zbir, razlika proizvod i količnik funkcija, odnosno mogu se posmatrati određene algebarske operacije među funkcijama. Imamo:

clip_image140

clip_image142

clip_image144

clip_image146

clip_image148

clip_image150

Jednakost dviju funkcija

Zadane su funkcije clip_image152, clip_image154 koje se definisane na skupovima clip_image156, i clip_image158. Za dvije funkcije kažemo da su jednake ako je:

  1. clip_image156[1] – definišu istu domenu,
  2. clip_image158[1] – imaju istu kodomenu,
  3. clip_image160 – imaju iste funkcije.

Parne i neparne funkcije

Definicija 3.

Funkcija clip_image162 je parna ako za vrijednosti argumenata koji su suprotni brojevi njihove vrijednosti su jednake, odnosno ako je:

clip_image164

Definicija 4.

Funkcija clip_image162[1] je neparna ako za vrijednosti argumenata koji su suprotni brojevi njihove vrijednosti su također suprotne, odnosno ako je:

clip_image166

Geometrijska interpretacija parnosti i neparnosti funkcije

Iz definicije parne funkcije proizilazi da ako je tačka clip_image168 pripada grafiku fuhnkcije, tada i tačka clip_image170, također pripada grafu. Pošto su tačke clip_image084[1] i clip_image172 simetrične u odnosu na clip_image174 to je i graf funkcije simetričan u odnosu na clip_image174[1].

clip_image176

Slika 2.2 Grafička interpretacija parne (lijevo) i neparne (desno) funkcije

Analogno (Slika 2.2) iz definicije neparne funkcije uočavamo da ako je tačka clip_image178 pripada grafiku funkcije, tada i tačka clip_image180, također pripada grafiku funkcije. Pošto su tačke clip_image182 simtrične i odnosu na ishodište koordinatnog sistema, zaključujemo da je neparna funkcija centralno simetrična u koordinatnom početku.

Iz geometrijske interpretacije proizilazi da pri konstrukciji grafa parne i neparne funkcije dovoljno je da prvu konstruišemo za pozitivne brojeve clip_image010[5] dok ćemo ostatak konstruisati simetrično osi clip_image012[2], a drugu na pozitivnom dijelu clip_image012[3] ose, a ostatak centralno simetrično tački ishodišta koordinatnog sistem.

Definicija 5.

Funkcija clip_image162[2] koja nije ni parna ni neparna jednostavno zovemo ni parna ni neparna funkcija.

Primjer 5.

Funkcija clip_image184 , gdje je k- cijeli broj, clip_image186,clip_image188 – su parne funkcije.

Primjer 6.

Funkcija clip_image190 , gdje je k- cijeli broj, clip_image192,clip_image194 – su neparne funkcije.

Periodičnost funkcije

Definicija 6.

Funkcija clip_image162[3] se naziva periodičnom ako postoji jedan realan pozitivan broj clip_image196, takav da su vrijednosti funkcije clip_image162[4] u tačkama clip_image198jednake, tj. da za svako clip_image200 važi clip_image202, pri čemu se najmanji pozitivan broj clip_image196[1] zove primitivni period ili kraće periodom funkcije fclip_image204.

Ako clip_image206, domeni funkcije fclip_image208 tada svaki broj oblika clip_image210, gdje je clip_image212 također pripada oblasti definisanosti, i pri čemu je clip_image214. Ovo se lako dokazje jer ako krenemo od početne definicije imamo: clip_image216. Iz gornjeg lako zaključujemo da tačke clip_image218 iz domene funkcije preslikavaju se u jednu tačku clip_image220 skupa clip_image058[1] odnosno kodomene funkcije clip_image052[2]. Također zaključujemo da će se grafik periodične funkcije biti sastavljen od lukova koji se ponavljaju na svakom od segmenata clip_image222, gdje je clip_image224. Prema tome ako je funkcija peroodična dovoljno je analizirati istu na osnovnom segment clip_image226, a ostalom dijelu domene se periodičnost ponavlja.

Primjer 7.

Trigonometrijske funkcije clip_image192[1] , clip_image186[1] su periodične funkcije sa periodom clip_image228, a funkcije clip_image230, clip_image232 sa periodom clip_image234, tj.

clip_image236, pa je clip_image238

Primjer 8.

Funkcija clip_image240 je periodična funkcija s periodomclip_image242, jer je:

clip_image244

I uopće kada imamo:

clip_image246

Ovo ne morate čitati

Periodičnost funkcije može se zadati i samo na nekom segmentuclip_image248. Tako da u primjeru 7 funkciju clip_image250 ograničavamo samo na segment clip_image252, a ispitivanje funkcije clip_image254 na clip_image256.

Periodičnost je pojava vrlo česta u prirodi odnosno u svakodnevnom životu . Periodičnost pojave Sunca, poslije 24 sata, kao i općenito kretanje planeta itd.

Ograničene i neograničene funkcije

Definicija 7.

Funkcija clip_image258 je ograničena u svojoj Domeni (oblasti definisanosti) ako je skup K odnosno skup njenih vrijednosti (Kodomena) ograničena. Drugim riječima ako postoji takva dva broja clip_image260 i clip_image262 da je za sve vrijednosti x clip_image264 vrijedi clip_image266, gdje su clip_image260[1] i clip_image262[1] – realni brojevi.

Geometrijska interpretacija Definicije 7 je takva sa se cijeli grafik funkcije nalazi u dijelu ravni koja je ograničena sa pravcima clip_image268 i clip_image270.

clip_image272

Slika 2.3 Funkcija clip_image274, ograničena je pravim clip_image276 i clip_image278

Za ograničene funkcije jednog argumenta važi sljedeća teorema.

Teorema 2.1.

Ako je funkcija clip_image258[1] ograničena na skupu x clip_image264[1], tada postoji pozitivan broj clip_image280takav da je clip_image282 odnosno clip_image284.

Dokaz:

Ako uzmemo da je brojclip_image286 tj. clip_image288 tada je clip_image290 odnosno clip_image292. Važi i obrnuto.

Primjer 9.

Funkcija clip_image294 ograničena je za clip_image296, tada imamo clip_image298, kao i to da je clip_image300. Ovo pak znači da grafik funkcije sin i cos leže unutar trake koju čine pravci y=1 i y=-1. Vidi sliku 2.4.

Napomena: Ograničenost funkcije može biti i samo s jedne strane odnosno sa gornje ili donje strane.Drugim riječima postoji broj clip_image260[2] takav da je clip_image302 -ograničenost sa donje strane i clip_image262[2] takav da je clip_image304 –ograničenost s gornje strane.

Primjer 10.

Funkcija clip_image070[1] ograničena sa donje strane jer je clip_image306.

Primjer 11.

Funkcija clip_image308 ograničena sa gornje strane jer je clip_image310.

Kažemo da funkcija nije ograničena u koliko ne postoji realni broj M takav da je clip_image312.

clip_image314

Slika 2.4 Ograničenost clip_image316, funkcija pravim clip_image276[1] i clip_image278[1]

About Bahrudin Hrnjica

PhD in Mechanical Engineering, Microsoft MVP for .NET. Likes .NET, Math, Mechanical Engineering, Evolutionary Algorithms, Blogging.

Posted on 15/09/2010, in Math and tagged , . Bookmark the permalink. Leave a comment.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s