Blog Archives

Euler Problem 277


Euler Problem 277:

Rješenje pomoću Wolfram Mathematica. Interesantno je to da FindInstance ne pronalazi (bar kod mene) prvo minimalno rješenje, nego kad se potraži prvih 5 rješenja, onda će se naći i traženo. )

a1 = n;(*first*)
a2 = (4 a1 + 2)/3;(*U*)
a3 = a2/3;(*D*)
a4 = a3/3;(*D*)
a5 = a4/3;(*D*)
a6 = (4 a5 + 2)/3;(*U*)
a7 = (2 a6 - 1)/3;(*d*)
a8 = (2 a7 - 1)/3;(*d*)
a9 = (2 a8 - 1)/3;(*d*)
a10 = a9/3;(*D*)
a11 = a10/3;(*D*)
a12 = (4 a11 + 2)/3;(*U*)
a13 = a12/3;(*D*)
a14 = a13/3;(*D*)
a15 = (2 a14 - 1)/3;(*d*)
a16 = (2 a15 - 1)/3;(*d*)
a17 = a16/3;(*D*)
a18 = (2 a17 - 1)/3;(*d*)
a19 = a18/3;(*D*)
a20 = (2 a19 - 1)/3;(*d*)
a21 = (2 a20 - 1)/3;(*d*)
a22 = a21/3;(*D*)
a23 = a22/3;(*D*)
a24 = (4 a23 + 2)/3;(*U*)
a25 = a24/3;(*D*)
a26 = a25/3;(*D*)
a27 = (2 a26 - 1)/3;(*d*)
a28 = (4 a27 + 2)/3;(*U*)
a29 = (4 a28 + 2)/3;(*U*)
a30 = a29/3;(*D*)
a31 = (2 a30 - 1)/3;(*d*)
Timing[FindInstance[a31 == k && n > 10^15, {n, k}, Integers, 5]]

Advertisements

Euler Problems 1 – 20


Euler problem 1:

Pronaći multiplikatore za 3 i 5, ispod 1000, može se izvesti preko LINQ i Aggregate operatora.

C# – Implementacija:

var rjesenjeP1 = Enumerable.Range(1, 999).Aggregate(0, (parSum, i) =>; ((i % 3 == 0) || (i % 5 == 0)) ? parSum + i : parSum);
Console.WriteLine(rjesenjeP1);

Mathematica – Implementacija

sum = 0; For[i = 1, i < 1000, i++,
 If[Mod[i, 3] == 0 || Mod[i, 5] == 0, sum += i]]; sum

Euler Problem 2

Pronaći sumu parnih članova Fibonacijevog niza:
C# – Implementacija

static IEnumerable<long> FibonacciNiz()
{
//Prva dva člana, odnosno prethodna dva člana
long a = 1;
long b = 2;
//i-ti clan
long c = 0;
yield return a;
yield return b;
while (true)
 {
   yield return c = a + b;
   //nakon proracuna i-tog člana
   // prethodna dva člana postaju
   a = b;
   b = c;
 }
}

var rjesenjeP2 = FibonacciNiz().TakeWhile(x => x <= 4000000).Sum(x => x % 2 == 0 ? x : 0);
Console.WriteLine(rjesenjeP2);

Mathematica – Implementacija:

sum = 0; i1 = 1; i2 = 2; While[True,
 f = i1 + i2;
 i1 = i2;
 i2 = f;
 If[f > 4000000, Break[]]
  If[Mod[f, 2] == 0, sum += f; i++]
 ]; sum

Euler Problem 3:

C# – Implementacija

//Rastavljanje broja n na proste faktore n=n1*n2*n3*…nn
public static IEnumerable<string> Foktoriziraj(string izraz,Int64 n)
{
//Ako je 1 vrati izraz
if (n == 1)
yield return izraz;
else
{
//Prolazimo sve brojeve manje od n
for (Int64 i = 2; i <= n; i++)
{
//Ako je n djeljiv sa i
if ((n % i) == 0)
{
Int64 q = n / i;
//Zapišimo u izraz broj i
if (!izraz.EndsWith("= ")) izraz += " * ";
izraz += i.ToString();
//Nad djeljiteljem q ponovimo isti postupak rekurzivno
foreach (string podizraz in Foktoriziraj(izraz, q))
yield return podizraz;
yield break;
}
}
}
}

Console.WriteLine(Foktoriziraj(600851475143.ToString() + " = ",600851475143).SingleOrDefault());

Mathematica – Implementacija


Max[FactorInteger[600851475143][[All, 1]]]

Euler Problem 4

C# – Implementacija

public static bool IsPalindron(int n)
{
string str = n.ToString();
int length=str.Length;
bool retVal=true;
for (int i = 0; i <  length/ 2; i++)
{
if (str[i] != str[length - 1 - i])
{
retVal = false;
break;
}
}
return retVal;
}

Glavna funkcija:

int maxPalin=0;
for(int i=1;i<=999; i++)
{
for(int j=1;j<=999; j++)
{
int num=i*j;
if (IsPalindron(num))
{
if (num > maxPalin)
maxPalin = num;
}
}
}
Console.WriteLine("Project Euler 4");
Console.WriteLine(maxPalin);

Euler Problem 5

int product = 1;
List<int> lst = Enumerable.Range(2, 20).ToList();
for (int i = 0; i <=lst.Count; i++)
{
product *= lst[i];
bool again = true;
while(again)
{
again = false;
for (int j = i+1; j < lst.Count; j++)
{
if (0 == lst[j] % lst[i])
{
lst[j] /= lst[i];
product *= lst[i];
again = true;
}
}
}
}
Console.WriteLine(product);

Euler Problem 6

var sum_of_the_squares = Enumerable.Range(1, 100).Sum(n => n * n);
var square_of_the_sum = Enumerable.Range(1, 100).Sum() * Enumerable.Range(1, 100).Sum();
var rjesenjeP6 = square_of_the_sum - sum_of_the_squares;
Console.WriteLine(rjesenjeP6);

Euler Problem 7

public static IEnumerable<Int64> VratiProsteBrojeve(long n = -1)
{
yield return 2;
for (int i = 3; i < (n == -1 ? Ilong.MaxValue : n); i += 2)
{
bool bprostBroj = true;
for (int j = 2; j* <= i; j++)
if (i % j == 0)
bprostBroj = false;
if (bprostBroj)
yield return i;
}
}
var rjesenjeP7 = VratiProsteBrojeve().Take(10001).Last();
Console.WriteLine(rjesenjeP7);

Euler Problem 8

string str = "73167176531330624919225119674426574742355349194934" +
"96983520312774506326239578318016984801869478851843" +
"85861560789112949495459501737958331952853208805511" +
"12540698747158523863050715693290963295227443043557" +
"66896648950445244523161731856403098711121722383113" +
"62229893423380308135336276614282806444486645238749" +
"30358907296290491560440772390713810515859307960866" +
"70172427121883998797908792274921901699720888093776" +
"65727333001053367881220235421809751254540594752243" +
"52584907711670556013604839586446706324415722155397" +
"53697817977846174064955149290862569321978468622482" +
"83972241375657056057490261407972968652414535100474" +
"82166370484403199890008895243450658541227588666881" +
"16427171479924442928230863465674813919123162824586" +
"17866458359124566529476545682848912883142607690042" +
"24219022671055626321111109370544217506941658960408" +
"07198403850962455444362981230987879927244284909188" +
"84580156166097919133875499200524063689912560717606" +
"05886116467109405077541002256983155200055935729725" +
"71636269561882670428252483600823257530420752963450";
int maxProduct = 0;
int count = str.Length;

for (int i = 0; i < count - 5; i++)
{
int p1 = str[i] - '0';
int p2 = str[i + 1] - '0';
int p3 = str[i + 2] - '0';
int p4 = str[i + 3] - '0';
int p5 = str[i + 4] - '0';
if (p1 * p2 * p3 * p4 * p5 > maxProduct)
{
maxProduct = p1 * p2 * p3 * p4 * p5;
}
}
Console.WriteLine(maxProduct);

Euler Problem 9

var abc = (from p1 in Enumerable.Range(2, 999)
from p2 in Enumerable.Range(3, 999)
where p1 < p2 && p1+p2+Math.Sqrt(p1*p1+p2*p2)==1000.0
select p1 * p2 * Math.Sqrt(p1 * p1 + p2 * p2)).FirstOrDefault();
Console.WriteLine(abc);

Euler Problem 10

Korištena prethodna metoda za vraćanje prostih brojeva.

var suma = VratiProsteBrojeve(2000000).Sum();
Console.WriteLine(suma);

Euler Problem 11

int[,] matrix = new int[20, 20]
{
{08, 02, 22, 97, 38, 15, 00, 40, 00, 75, 04, 05, 07, 78, 52, 12, 50, 77, 91, 08},
{49, 49, 99, 40, 17, 81, 18, 57, 60, 87, 17, 40, 98, 43, 69, 48, 04, 56, 62, 00},
{81, 49, 31, 73, 55, 79, 14, 29, 93, 71, 40, 67, 53, 88, 30, 03, 49, 13, 36, 65},
{52, 70, 95, 23, 04, 60, 11, 42, 69, 24, 68, 56, 01, 32, 56, 71, 37, 02, 36, 91},
{22, 31, 16, 71, 51, 67, 63, 89, 41, 92, 36, 54, 22, 40, 40, 28, 66, 33, 13, 80},
{24, 47, 32, 60, 99, 03, 45, 02, 44, 75, 33, 53, 78, 36, 84, 20, 35, 17, 12, 50},
{32, 98, 81, 28, 64, 23, 67, 10, 26, 38, 40, 67, 59, 54, 70, 66, 18, 38, 64, 70},
{67, 26, 20, 68, 02, 62, 12, 20, 95, 63, 94, 39, 63, 08, 40, 91, 66, 49, 94, 21},
{24, 55, 58, 05, 66, 73, 99, 26, 97, 17, 78, 78, 96, 83, 14, 88, 34, 89, 63, 72},
{21, 36, 23, 09, 75, 00, 76, 44, 20, 45, 35, 14, 00, 61, 33, 97, 34, 31, 33, 95},
{78, 17, 53, 28, 22, 75, 31, 67, 15, 94, 03, 80, 04, 62, 16, 14, 09, 53, 56, 92},
{16, 39, 05, 42, 96, 35, 31, 47, 55, 58, 88, 24, 00, 17, 54, 24, 36, 29, 85, 57},
{86, 56, 00, 48, 35, 71, 89, 07, 05, 44, 44, 37, 44, 60, 21, 58, 51, 54, 17, 58},
{19, 80, 81, 68, 05, 94, 47, 69, 28, 73, 92, 13, 86, 52, 17, 77, 04, 89, 55, 40},
{04, 52, 08, 83, 97, 35, 99, 16, 07, 97, 57, 32, 16, 26, 26, 79, 33, 27, 98, 66},
{88, 36, 68, 87, 57, 62, 20, 72, 03, 46, 33, 67, 46, 55, 12, 32, 63, 93, 53, 69},
{04, 42, 16, 73, 38, 25, 39, 11, 24, 94, 72, 18, 08, 46, 29, 32, 40, 62, 76, 36},
{20, 69, 36, 41, 72, 30, 23, 88, 34, 62, 99, 69, 82, 67, 59, 85, 74, 04, 36, 16},
{20, 73, 35, 29, 78, 31, 90, 01, 74, 31, 49, 71, 48, 86, 81, 16, 23, 57, 05, 54},
{01, 70, 54, 71, 83, 51, 54, 69, 16, 92, 33, 48, 61, 43, 52, 01, 89, 19, 67, 48}
};
int maxProduct = 0;
for (int i = 0; i < 20; i++)
{
for (int j = 0; j < 20; j++)
{
if (j + 3 < 20)
{
if (matrix[i, j] * matrix[i, j + 1] * matrix[i, j + 2] * matrix[i, j + 3] > maxProduct)
maxProduct = matrix[i, j] * matrix[i, j + 1] * matrix[i, j + 2] * matrix[i, j + 3];
}
if(i + 3 < 20 )
{
if (matrix[i, j] * matrix[i + 1, j] * matrix[i + 2, j] * matrix[i + 3, j] > maxProduct)
maxProduct = matrix[i, j] * matrix[i + 1, j] * matrix[i + 2, j] * matrix[i + 3, j];
}
if(i + 3 < 20 && j + 3 < 20)
{
if (matrix[i, j] * matrix[i + 1, j + 1] * matrix[i + 2, j + 2] * matrix[i+3, j + 3] > maxProduct)
maxProduct = matrix[i, j] * matrix[i+1, j + 1] * matrix[i+2, j + 2] * matrix[i+3, j + 3];
}
if (i - 3 >= 0 && j + 3 < 20)
{
if (matrix[i, j] * matrix[i - 1, j+1] * matrix[i - 2, j+2] * matrix[i - 3, j+3] > maxProduct)
maxProduct = matrix[i, j] * matrix[i - 1, j + 1] * matrix[i - 2, j + 2] * matrix[i - 3, j + 3];
}
}
}
Console.WriteLine(maxProduct);

Euler Problem 12

//Problem 12:
long number=0;
long triangle = 0;
long numberOfDivisors = 0;
for (long i = 1; ;i++ )
{
    triangle += i;
    numberOfDivisors = 0;
    int squared= (int) Math.Sqrt(triangle);
    for (long j = 1; j <=squared ; j++)
    {
        if (triangle %j == 0 )
            numberOfDivisors+=2;

    }
    if(numberOfDivisors>=500)
    {
        number=i;
        break;
    }
}
Console.WriteLine("Number of divisors:{0}",number);
Console.WriteLine("Triangle Number: {0}", triangle);

Euler Problem 13

string numbers =
@"37107287533902102798797998220837590246510135740250
46376937677490009712648124896970078050417018260538
74324986199524741059474233309513058123726617309629
91942213363574161572522430563301811072406154908250
23067588207539346171171980310421047513778063246676
89261670696623633820136378418383684178734361726757
28112879812849979408065481931592621691275889832738
44274228917432520321923589422876796487670272189318
47451445736001306439091167216856844588711603153276
70386486105843025439939619828917593665686757934951
62176457141856560629502157223196586755079324193331
64906352462741904929101432445813822663347944758178
92575867718337217661963751590579239728245598838407
58203565325359399008402633568948830189458628227828
80181199384826282014278194139940567587151170094390
35398664372827112653829987240784473053190104293586
86515506006295864861532075273371959191420517255829
71693888707715466499115593487603532921714970056938
54370070576826684624621495650076471787294438377604
53282654108756828443191190634694037855217779295145
36123272525000296071075082563815656710885258350721
45876576172410976447339110607218265236877223636045
17423706905851860660448207621209813287860733969412
81142660418086830619328460811191061556940512689692
51934325451728388641918047049293215058642563049483
62467221648435076201727918039944693004732956340691
15732444386908125794514089057706229429197107928209
55037687525678773091862540744969844508330393682126
18336384825330154686196124348767681297534375946515
80386287592878490201521685554828717201219257766954
78182833757993103614740356856449095527097864797581
16726320100436897842553539920931837441497806860984
48403098129077791799088218795327364475675590848030
87086987551392711854517078544161852424320693150332
59959406895756536782107074926966537676326235447210
69793950679652694742597709739166693763042633987085
41052684708299085211399427365734116182760315001271
65378607361501080857009149939512557028198746004375
35829035317434717326932123578154982629742552737307
94953759765105305946966067683156574377167401875275
88902802571733229619176668713819931811048770190271
25267680276078003013678680992525463401061632866526
36270218540497705585629946580636237993140746255962
24074486908231174977792365466257246923322810917141
91430288197103288597806669760892938638285025333403
34413065578016127815921815005561868836468420090470
23053081172816430487623791969842487255036638784583
11487696932154902810424020138335124462181441773470
63783299490636259666498587618221225225512486764533
67720186971698544312419572409913959008952310058822
95548255300263520781532296796249481641953868218774
76085327132285723110424803456124867697064507995236
37774242535411291684276865538926205024910326572967
23701913275725675285653248258265463092207058596522
29798860272258331913126375147341994889534765745501
18495701454879288984856827726077713721403798879715
38298203783031473527721580348144513491373226651381
34829543829199918180278916522431027392251122869539
40957953066405232632538044100059654939159879593635
29746152185502371307642255121183693803580388584903
41698116222072977186158236678424689157993532961922
62467957194401269043877107275048102390895523597457
23189706772547915061505504953922979530901129967519
86188088225875314529584099251203829009407770775672
11306739708304724483816533873502340845647058077308
82959174767140363198008187129011875491310547126581
97623331044818386269515456334926366572897563400500
42846280183517070527831839425882145521227251250327
55121603546981200581762165212827652751691296897789
32238195734329339946437501907836945765883352399886
75506164965184775180738168837861091527357929701337
62177842752192623401942399639168044983993173312731
32924185707147349566916674687634660915035914677504
99518671430235219628894890102423325116913619626622
73267460800591547471830798392868535206946944540724
76841822524674417161514036427982273348055556214818
97142617910342598647204516893989422179826088076852
87783646182799346313767754307809363333018982642090
10848802521674670883215120185883543223812876952786
71329612474782464538636993009049310363619763878039
62184073572399794223406235393808339651327408011116
66627891981488087797941876876144230030984490851411
60661826293682836764744779239180335110989069790714
85786944089552990653640447425576083659976645795096
66024396409905389607120198219976047599490197230297
64913982680032973156037120041377903785566085089252
16730939319872750275468906903707539413042652315011
94809377245048795150954100921645863754710598436791
78639167021187492431995700641917969777599028300699
15368713711936614952811305876380278410754449733078
40789923115535562561142322423255033685442488917353
44889911501440648020369068063960672322193204149535
41503128880339536053299340368006977710650566631954
81234880673210146739058568557934581403627822703280
82616570773948327592232845941706525094512325230608
22918802058777319719839450180888072429661980811197
77158542502016545090413245809786882778948721859617
72107838435069186155435662884062257473692284509516
20849603980134001723930671666823555245252804609722
53503534226472524250874054075591789781264330331690"
string first10digit = numbers.Split(new char[] { '\r','\n',' '},StringSplitOptions.RemoveEmptyEntries)
                    .Aggregate((BigInteger)0, (poc, nn) =>; poc += BigInteger.Parse(nn)).ToString().Substring(0,10);

Euler Problem 14

namespace EulerProblem14
{
    class Program
    {
        static bool IsEven(long n)
        {
            return n % 2 == 0;
        }
        static long NextTerm(long n)
        {
            return IsEven(n) ? n / 2 : 3 * n + 1;
        }
        static IEnumerable<long> GetTerms(long n)
        {
            yield return n;
            if (n == 1)
                yield return 1;
            else
            {
                long a = n;
                while (a != 1)
                {
                    a = NextTerm(a);
                    yield return a;
                }
            }
        }
        static void Main(string[] args)
        {
            Console.WriteLine("EulerProblem14={0}",
                Enumerable.Range(1, 1000000).
                Select(x => new { x, Count = GetTerms(x).Count() }).
                OrderByDescending(x => x.Count).FirstOrDefault().x
                );
            Console.Read();

        }
    }
}

Euler Problem 15

namespace EulerProblem15
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int max_x=20,max_y=20;
            long [,] matrix= new long[max_x+1,max_y+1];
            int i,j;

            for (i = 0; i <= max_x; i++)
            {
                matrix[max_x,i]=1;
                matrix[i,max_y]=1;
            }

            for (i = max_x - 1; i >= 0; i--)
            {
                for (j = max_y - 1; j >= 0; j--)
                    matrix[i, j] = matrix[i + 1, j] + matrix[i, j + 1];
            }

            Console.WriteLine(matrix[0,0]);
            Console.Read();
        }
    }
}

Euler Problem 16

var sumofDigit=BigInteger.Pow(2, 1000).ToString().
                     Aggregate(0, (sum, digit) => sum += int.Parse(digit.ToString()));

Euler Problem 17

Prebrojimo koliko ima slova u pojedinim ciframa koje se ponavljaju u brojevima od 1 – 1000.

1-9: – ima 36 slova.

10-19: ima 70 slova.

20-90: ima 46 slova

100: ima 5 slova

1000: ima 8 0slova

veznik AND: ima 3 slova.

1-9 se ponavlja 10 puta, 10-19 – 10 puta, veznik AND – se ponavlja 891 put itd.

namespace EulerProblem17
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int jedanDodevet = "onetwothreefourfivesixseveneightnine".Length;
            int desetDodevetnaest = "teneleventwelvethirteenfourteenfifteensixteenseventeeneighteennineteen".Length;
            int veznik = "and".Length;
            int dvadesetDodevedeset = "twentythirtyfortyfiftysixtyseventyeightyninety".Length;
            int stotina = "hundred".Length;

            long count = 3/*one*/ + 8/*thousand*/ + 900 * stotina+ 100 * jedanDodevet +
                    100 * dvadesetDodevedeset + 891 * and + 80 * jedanDodevet + 10 * (jedanDodevet + desetDodevetnaest);

           Console.WriteLine(count);
           Console.Read();
        }
    }
}

Euler Problem 18

Brute force rješenje.

C#: Implementacija

namespace EulerProblem18
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int N=15;
            int [][] triangle= new int [15][];
                    triangle[0]= new int[1]{75};
                    triangle[1]= new int[2]{95,64};
                    triangle[2]= new int[3]{17,47,82};
                    triangle[3]= new int[4]{18,35,87,10};
                    triangle[4]= new int[5]{20,04,82,47,65};
                    triangle[5]= new int[6]{19,01,23,75,03,34};
                    triangle[6]= new int[7]{88,02,77,73,07,63,67};
                    triangle[7]= new int[8]{99,65,04,28,06,16,70,92};
                    triangle[8]= new int[9]{41,41,26,56,83,40,80,70,33};
                    triangle[9]= new int[10]{41,48,72,33,47,32,37,16,94,29};
                    triangle[10]= new int[11]{53,71,44,65,25,43,91,52,97,51,14};
                    triangle[11]= new int[12]{70,11,33,28,77,73,17,78,39,68,17,57};
                    triangle[12]= new int[13]{91,71,52,38,17,14,91,43,58,50,27,29,48};
                    triangle[13]= new int[14]{63,66,04,68,89,53,67,30,73,16,69,87,40,31};
                    triangle[14]= new int[15]{04,62,98,27,23,09,70,98,73,93,38,53,60,04,23};

             int max;
             int[][] best=new int[N][];
             for (int i = 0; i < N; i++)
                 best[i]=new int[i+1];

             best[0][0] = triangle[0][0];

            for (int i = 1; i < N; i++)
             {
                best[i][0] = triangle[i][0] + best[i-1][0];

                for (int j = 1; j < i ; j++)
                    best[i][j] = triangle[i][j] + Max(best[i - 1][j], best[i - 1][j - 1]);

                best[i][i] = triangle[i][i] + best[i - 1][i - 1];
             }
             max = best[N - 1][0];

            for (int i = 1; i < N; i++)
               if (best[N - 1][i] > max)
                  max = best[N - 1][i];

                Console.WriteLine(max);
                Console.Read();

        }
        static int Max(int i,int j)
        {
            if(i>=j)
                return i;
            else
                return j;
        }
    }
}

Euler Problem 19

Prosto igranje sa Datetime tipom.

C# – Implementacija

namespace EulerProblem19
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            DateTime end = new DateTime(2000, 12, 31);
            DateTime start = new DateTime(1901, 1, 1);

            int sundayCount = 0;
            for (DateTime date = start; date < end; date = date.AddMonths(1))
              if (date.DayOfWeek == DayOfWeek.Sunday)
                 sundayCount++;

            Console.WriteLine(sundayCount);
            Console.Read();
        }
    }
}

Euler Problem 20

Rješenje koristi BigInteger klasu za zbrajanje cifara. Izračuna se faktorijel i saberu cifre.

Wolfram Mathematica:

Total[IntegerDigits[100!]]

C#

var sumofDigit = Enumerable.Range(1, 100).
       Aggregate((BigInteger)1, (prev, numb) => prev *= numb).ToString().
       Aggregate(0, (sum, digit) => sum += int.Parse(digit.ToString()));

Euler problem 76


Euler Problem 76: Particioniranje broja.

Particioniranje broja detaljno je objašnjeno na ovom linku, pa stoga je vrlo jednostavno implementirati rješenje.

Ne ulazeći dublje u optimizaciju ovog koda implementacija traje malo duže, mada se vrijeme izvršavanja lako može skratiti.

static long PartitionFn(long k, long n)
{
    if (k > n)
        return 0;
    else if (k == n)
        return 1;
    else
        return PartitionFn(k + 1, n) + PartitionFn(k, n - k);
}
static void Main(string[] args)
{
    Console.WriteLine(PartitionFn(1,100) - 1);
    Console.Read();
}

Mada Mathematica ima posebnu funkciju za ovo:

PartitionsP[100] - 1

Na ovom linku (numerikana.com) se mogu naći bezbroj algoritama vezanih za teoriju brojeva.

Subset Sum Problem


Subset sum problem ili problem sume podskupa definiše se nad skupom cijelih brojeva, iz kojeg je potrebno naći podskup čija suma elemenata iznosi određenu vrijednost.

Problem se može poopćiti na sljedeći jednostavan primjer:

Pretpostavimo da imamo skup S = \{{ 1,2,3,4,5,6 \}}. Potrebno je prebrojati koliko ima podskupava datog skupa čiji zbir elemenata iznosi npr. 7.

Prejednostavan problem, čak se i napamet se može izračunati, bez olovke i papira, a implementacija u nekom programskom jeziku je prejednostavna. Međutim, u koliko se radi o skupu koji ima veći broj elemenata, i ako se radi o vrijednosti sume takodjer velikom broju, tada nastupa problem, jer se klasično ne može riješiti. Problem je poznat po imenu Subset-Sum problem ili Problem Sume Podskupa. Ovo je pojednostavljena verzija Knapsack problema.

SUBSET-SUM = (S,t): postoji podskup S^{'} \subseteq S za koji vrijedi t = \sum_{S \in S^{'}}S

SUBSET-SUM problem: Pretpostavimo da imamo skup S = \{{ x_{1},x_{2},...,x_{N} \}}, od N članova koji predstavljaju cijele brojeve i t cijeli broj.

  1. Decision problem (problem odluke) postavlja pitanje da li postoji podskup S^{'} čija suma članova iznosi t.
  2. Optimization problem (optimizacijski problem) postavlja pitanje koliko ima podskupova S^{'} čija suma članova iznosi t.

Problem koji smo definisali tretira se kao NP problem. Više o NP može se pogledati na datom linku. Koliko je kompleksan ovaj problem zavisi od N i t, a shodno njima se i implementiraju algoritmi za rješavanje.

Matematička analiza problema

Kako je broj elemenata skupa S jednak broju N , to možemo zaključiti da ukupan broj svih podskupova S^{'} koji se mogu definisati iz datog skupa je sljedeći:

C_{N}^{1}+C_{N}^{2}+...+C_{N}^{N}

Vidimo da su podskupovi skupa S, kombinacije bez ponavljanja klasa 1 do N. Zbir ovih kombinacija iznosi:

\sum_{sk=0}^{N}\binom{N}{k}=(1+1)^{N}=2^{N}

Svaki podskup sadrži 0,1,2,3,....,3,2,1 elemenata shodno razvoju Binomnog obrazca iz gornjeg izraza.

Kompleksnost problema

Obični postupak rješavanja ovih problema je “brute-force”, koji generira sve kombinacije podskupova, kojih ima 2^{N}, a generirane podskupove sada je potrebno provjeriti da li zadovoljavaju (ne)jednakost, što čini još dodatnih N operacija. S toga ovaj problem ima kompleksnost odnosno vrijeme izvršavanje O(2^{N}N). Ovo spada u grupu eksponencijalnih vremena izvršavanja. Neki pristupi rješavanja svode kompleksnos na O(2^{N/2}N), djeleći skup na dva podskupa.

Algoritam

Za specifične vrijednosti N i t, problem je moguće svesti na pseudo-polinomalni, koji se rješava dinamičkim programiranjem.

Algoritam dinamičkog programiranja za problem odluke:

Pretpostavimo da imamo polje: x_{1} ,x_{2} ,..., x_{N}. Potrebno je provjeriti da li postoji nepazan podskup čija suma iznosi 0. Neka je N suma negativnih članova polja, a P suma pozitivnih članova polja. Definišimo boolovu funkciju Q(i,s) na način: “postoji neprazan podskup od  x_{1} ,x_{2} ,..., x_{i} čija suma elemenata iznosi s“.

Rješenje problema je vrijednost Q(n,0).

  1. Q(i,s)=false, ako je s<N \vee s>P, s toga ove vrijednosti netrebaju da budu čuvane tokom izvršavanja.
  2. Formirati polje za čuvanje vrijednosti Q(i,s) za 1\leq i\leq n \wedge N\leq s\leq P.
  3. Ova kolekcija se popunjava sljedećom rekurzijom
    1. Inicijalizirati N\leq s\leq P
    2. Postaviti početnu vrijednost funkcije Q(1,s)=(x1=s)
    3. Za i=2 ,...., n
    4. Postaviti Q(i,s)=Q(i-1,s) ili (x_{i}=s) ili Q(i-1,s-x_{i}), za N\leq s\leq P.

Za svaki Q(i,s) vrijednost na desnoj strani je poznata, jer je izračunata iz prethodnih iteracija ili zbog Q(i-1,s-x_{i})=false ako je s-x_{i}>P.

Algoritam optimizacijskog problema

Optimizacijski problem je sličan gore prezentiranom problemu, samo umjesto definisanja boolove funkcije Q(i,s), definišemo funkciju Q(i,s), koja vraća broj podskupova, čija suma elemenata iznosi s.

Rješenje optimizacijskog problema je vrijednost Q(n,0).

Primjena Subset Sum problema

U nekoliko narednih primjera biće demonstrirano korištenje prethodnih definicija i algoritma dinamičkog programiranja:

Problem 1. Koliko se može napraviti podskupova skupa S=\{{1,2,3,4,5,6\}}, čija je suma t=7.

Problem je vrlo jednostavan jer želimo vidjeti na koji način algoritam radi. Prvo, rješimo ovaj problem „pješice“ i pogledajmo koliko takvih posdkupova ima. To su:

S^{'}_{1}= \{{ 6,1 \}}, S^{'}_{2}= \{{ 5,2 \}}, S^{'}_{3}= \{{4,3 \}}, S^{'}_{4}= \{{1,2,4 \}}.

Vidimo da ukupno postoji 4 takva podskupa.Napišimo implementaciju ovog problema shodno gore prezentiranom algoritmu.

static void Main(string[] args)
{
    Console.Title = "Subset Sum Problem...";
    //Inicijalizacija skupa S i vrijednosti t
    int[] S = new int[6] { 1, 2, 3, 4, 5, 6 };
    int t = 7;

    //polje za čuvanje vrijednosti Q(s)
    int[] Q=new int[t+1];
    //Pocetna vrijednost
    Q[0]=1;
    //Iteracija od 0-N
    for (int i = 0; i < S.Length; i++)
    {
        int s=S[i];
        //Iteracija od t-si
        for (int j = t; j >= s; j--)
            Q[j] += Q[j - s];
    }
    Console.WriteLine("Postoji {1} podskupa čija je suma>={0}",t,Q.Sum()-1);
    Console.Read();
}

Izlaz na konzolu je sljedeći:

Linija 18 čini čaroliju kod ove implementacije. Važno je naglasiti da iteracija kod druge petlje mora ići u silaznom smijeru od t do s_{i} . U koliko bi išla u suprotnom smjeru tada bi ova implementacija imala sasvim drugi smisao kojem će biti riječi možda neki drugi put.
Gornjom implementacijom ne samo da smo prebrojali koliko postoji podskupova čija je suma 7, nego smo prebrojali i sve podskupove čija je suma manja ili jednaka 7. Kako smo kazali kroz definiciju algoritma da je vrijednost Q[n,t] broj podskupova čija je suma iznosi s, to znači da je Q(N,t-1) rješenje za problem t-1, i td. Sve do praznog skupa onosno 0. Ovim se želi kazati da algoritam rješava problem sume manje ili jednake od t.
U koliko bi, shodno prethodnom (nemjenjajući logiku gornje implementacije) željeli znati koliko ima podskupova čija je vrijednost manja ili jednaka 7, potrebno je samo promjeniti liniju 20, i to na sljedeći način:
Console.WriteLine("Postoji {1} podskupa čija je suma>={0}",t,Q.Sum()-1);

Od sume oduzimamo jedinicu jer želimo izbaciti prazan skup odnosno m[0].
Na jednostavnom problemu prikazan je Subset sum problem, koji je vrlo koristan kod rješavanja složenijih problema. Jedan od primjene ovog problema je u Euler Problem 249 i 250, koji se mogu riješiti primjenjujući upravo ovaj način implementacije. U nekom od narednih postova biće prikazana rješenja ovih problema.
References: